「培训」张齐华讲座实录 第三个问题是如何加强数学思考的问题。

张齐华讲座实录 1

第一个问题是学习起点的把握；

第二个问题是如何通过教师的引导让学生逐层深入把握慨念的本质的属性；

第三个问题是如何加强数学思考的问题。

 ；  ；我先讲第一个问题，学习起点的把握问题.

 ；  ；大家手中都有一本教材，你肯定思考过， 张老师会怎样去上这堂课？当我讲出第一句话的时候，许多老师肯定都很惊讶，这个人怎么就用教材去上了呢？事实上，我和其他年轻教师都一样，拿到教材后，想上一堂好课，首先考虑怎样去创设一个好的情景，怎么样去吸引别人的眼球。更不用说我这个课是一个多月前在黄山参加全国的赛课。自从九月份接到任务后，就开始大量收集资料，本身这个教材也是江苏出版社的，我也是江苏出版社里面的最年轻的教材编写者之一，应该说我对教材还是有所了解，有所认识的。拿到这个教材后，我心里比较失望，怎么看都觉得没有挑战性，也不是特别有趣，而且拿这个教材上课，给评委给老师留不下多深的印象。一开始，说实话，我收集了好多好多的资料，设计了好多好多不同的开头的方式。当时省里的领导、专家听了我的课后，江苏的几个小学数学专家只给说了一句话：“小张，你去改编教材我们支持你，你改编教材后，把改编后的教材拿过来与我们的教材比较，你在突显孩子的数学思考或者提升孩子的数学素养这个层面上，你有没有超越我们的教材，如果超越的话，我不但赞成你改，而且还把你改的东西加入到新的改编教材里面去。”这句话对我的震撼是非常大的，改编教材为了什么？不只是让教材更吸引人，当然让教材更吸引人也是一个方面，而更本质的是什么东西？这个东西一开始我没有把握住。于是我把我的三个开头一一摆在那边，重新跟教材的开头比较的时候，从内涵或者从深度上来比较的话，那些花枝招展的也好，那些活泼的生动的情景也好，事实上都是平乏的，因此回到最后我们还是选择了教材上的开头。

讲第二点，关于学习起点的问题。

 ； 其实，这堂课，一开始，我们有一个设计方案，关于分数孩子们究竟掌握了什么？说实话，我们平时的脑海里都有这么一个印象，孩子们对分数肯定有所了解，生活中到处都能见到分数。但是，据我们调查，从四个不同层次的学校各选择一个班，孩子们对小数、百分数在正式学习之前有过大量的接触的，能够从生活中举出事例来理解或者说出自己朴素的想法，惟独对分数几乎是一无所知。我们学校是南京市最好的学校之一，我在我们学校选了一个最好的班，三年级刚开学的时候做过调查，全班有六个同学听说过分数，其中有三个人能够比较模糊说出二分之一表示把一个东西分两份中的一份，“平均”就根本不用谈了。因此我们就感觉到，好象以前我们对孩子们认识分数的起点还是有所高估的。所以，真正到了上课的时候，我没有引导孩子们怎样结合自己原有的认识去主动地去发现分数，去创造分数，去经历分数产生的过程，而是简单扼要地首先从分东西开始。一个丰富的活动情景——分东西的，在从前面分东西的两个场景中，学生有一些“平均分”的活动经验，于是出现问题情景“把一个蛋糕平均分成两份，每人分得多少？”首先这是一个冲突，因为学生已经没有办法用以前学过的数来表示了。“半个用什么数来表示呢？”老师们已经看到了，大慨有三四个学生举手。其中有一个孩子说出二分之一，另一个孩子说出一分之二，一个孩子说出四分之一，这些的确都是分数，但，对“半个用什么数来表示呢？”后面一段，老师们体会一下，我没有用所谓的探索或者用所谓的发现，而是用一种有意接触的学习，事实上，一开始，我也觉得不太好，尤其是在新课程的背景下。有意接触的学习，说白了就是带有一种告诉，只不过这种告诉是基于学生的活动经验和原有的背景之下的告诉。这种告诉，说起来是乎有点不太冠冕堂皇，事实上后来我们在经过一而再再而三的研讨下，采取怎样的教学方式，并不是为了迎合一种新的学习方式，或者说这个学习方式好，更现代我们就去迎合，不是的。而是更多的去考虑孩子的学习起点，就这个内容本身它的起点是在什么地方？它怎样的起点就制约着我们采取什么样的方式去学习这个内容，既然前面我们发现，最好的小学里面每个班都只有星星点点的几个学生对分数有所了解。那么，针对这种情况，你还有没有必要去换一种方式让孩子去探究，去发现？有意接触又怎么样？再说“二分之一”的读法也好，写法也好，都是人为的东西。我把“二分之一”读作“一分之二”没人说错，对不对？事实上读作“一分之二”也许还更顺口，（读） “一分之二”，对不对？既然它是人为规定的东西，有意接触又怎么样？更节约时间，又提高效率，这是关于学习起点的问题。

张齐华讲座实录2

第二.讲如何突现概念本质属性的问题。

 ；  ；其实，这一堂课里面，在我个人的感觉而言，这一块，我认为是最得意的地方。后面的巧克力也好、后面的广告词也好，都不是这一堂课最亮的地方。这一块我自认为最该亮的地方，从它的表现形式上来说，它亮不起来，这也是一组矛盾。作为一堂好的课，该怎样去看，我可以从三个角度来讲一下，这一堂课是如何通过一层一层地数学的活动，数学的比较来象剥笋一样把分数这个数学概念它非本质的属性一层一层的剥离，最后留下最本质的属性。老师们可能还有印象，首先是认识蛋糕的二分之一，但是，我们知道仅仅认识蛋糕的二分之一是不够的，因为蛋糕可以表示二分之一，苹果也可以表示二分之一，长方形也可以表示二分之一。如果我们仅仅认识蛋糕的二分之一的话，对于分数的认识他只是处在一个实物的思维层次。因此，我们在认识蛋糕的二分之一之后，拿出一个长方形的纸，“同学们长方形的二分之一该怎样表示？”学生开始表示。学生的不同的折法都能表示长方形的二分之一，为什么？这里面存在一个数学里面的求同的思想。求同存异，它有不同的地方，折法不同，那有没有相同的地方呢？同学们通过思考，他们给出答案，它们都是对折的，都是两份，都是平均分成两份。

 ；  ；老师们，这里面我的目的和意图是什么？我要告诉同学们，一个东西怎样对折无所谓，这不是分数的本质的属性，它的本质的属性是它本身只要是平均分成两份，其中的一份就是它的二分之一。体会一下，与蛋糕的二分之一比，孩子们对二分之一的认识，是不是又提升了一步。这是第一层次的比较。

第二层次的比较是到后面的做分数，学生做完分数后，我拿了三个不同图形的四分之一，老师们体会一下，前面第一层次的比较，是同一图形的不同折法得到的二分之一，把这个分数非本质的属性剥离掉了。第二层次，我要剥离图形不同也没关系，不同图形为什么都可以表示四分之一呢？根据孩子们的经验，他们知道，它们都是把图形平均分成了四份，图形不同是没有关系的，只要平均分成了四份，每一份都是它的四分之一。通过两个层次的比较，至少给同学们留下了这样的印象，要表示几分之一，怎样对折没关系，什么图形没关系，只要把一个东西平均分成若干份，表示这样的一份就是它的几分之一。两个层次的对比之后，孩子们对几分之一的认识一层一层的下来，第三个层次在那？比较分数的大小以后，我用三个圆先比较1/2、1/4、1/8。然后我说同样的圆可以表示分数的大小，那同样大小的正方形、长方形行吗？孩子们说：“行。”为什么呢？因为课前发材料的时候我心里有数，第1、2、3组我发的是同样大小的圆，第4、5、6组发的是同样大小的正方形，第7、8、9组发的是同样大小的长方形。发完以后有的小组在比同样大小的圆，有的小组在比同样大小的正方形，有的小组在比同样大小的长方形。孩子问：“老师，这是为什么？”这可以告诉孩子们比较分数的大小不仅是两个同样大小的圆才能进行，两个同样大小的正方形也行，两个同样大小的长方形也行。这样就可以进行联想两个同样大小的随便什么东西，只要你要有本事找出它的几分之一，它就可以进行分数的比较。这样的话分数大小的比较就不止局限于非常具体的实物，这又进行了一次抽象。两个完全一样的单位一，只要你能表示两个具体的分数，那么它就能进行有效的比较。这三个层次的比较看上去是朴素的，朴实的。但从我当时设计的角度来说，这三个层次的比较是我苦心积虑的。我希望通过这三个层次的比较，而我不认为这三个层次是处在同一个层次上的，它每个层次的比较从数学角度来看它都有一定的内涵。每一层次的比较都在剥离分数某一方面的非本质属性，到最后的时候留下的就是最本质的属性。但今天我不能把它介绍过来，因为这不是这堂课所要涉及的问题。但我想孩子们在初步认识几分之一的时候，如果能通过这层层的活动和比较，对于分数的本质问题有所感悟的话，对孩子以后的分数学习会有很大的帮助。

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 ；  ； 谈第三个问题，一堂好的数学课，我并不是因为老师们在听课的时候笑了，或是因为孩子们在活动中激动的不得了就认为上的好。我觉得不仅仅是这样，一堂好的数学课的本质是要彰现数学思考，提升学生的思考能力。数学课嘛让孩子变的更智慧、更聪明是比较朴素的方法。举两个小例子，第一个例子是横条，我觉得在这几个练习里面最好的是三个长条的练习，其次是巧克力的练习，然后是蛋糕的练习。 我现在谈长条的练习，这里面蕴涵了怎样的思考，我们可以数一下， 首先这里面有个估计意识和估计策略的培养，尤其在1/2里面，孩子的估计结果是不同的，而不同的估计背后所支撑的就是不同的估计策略。这就涉及到有人是蒙的，有人是借助数学推理来进行估计的。老师们都非常明白在数学领域经常要遇到孩子们估计，但你要清醒的认识孩子的估计是在怎样估计，是在蒙的、是凭感觉、还是属于带有一定的推理性。比如说我估计今天在座的老师可能有千把人，我会怎么去估计，我会根据我的经验，这一块好象有四十人，因为我平时上课一个班就这么多学生，我估计下这里面大概有二十来个四十，总共就有千把人。这就是借助于数学推理而展开的估计，这是估计的一种有效策略。但如果只是大概的看一下黑压压的一片，有的孩子答成千上万，你体会一下这成千上万就是一种模糊的感觉。我觉得如果只满足于孩子基本层次的估计的话，那我们数学课堂是无法提升数学思考和数学素养的。那么这里边第二个孩子站起来说：“你是怎么估计的？”他说：“老师，老师，我看第二条里面1/3是这么长，第三条里面这一段正好是上面的一半，一半不就正好平均分成六份吗？第一，这孩子的估计是借助于观察和比较进行的，我要把它及时的表现出来并进行放大，让孩子们知道原来估计不应该仅仅是第一个孩子那种我是看出来的，我是蒙出来的，而是通过一定的策略来估计，这是估计策略和估计意识的培养。再接下来，有一个结构整和的问题，我们都知道数学课堂、数学学习应该有利于孩子提升完整的认识结构，几分之一是新知，我们有句俗语是要把新知的船抛锚在旧知的桩上，那么旧知是什么呢？旧知是自然知识的展示，而唯一与今天几分之一建立有意义的、本质的联系的数是1。因为开始是1，后面是1/3，后面是1/6，然后我们让孩子思考，今天所学的几分之一和前面的认识有联系吗？孩子们通过一段时间的思考觉得是有联系，因为是把1平均分成3份每份是1/3，平均分成6份每份是1/6，1/3和1/6跟1是有联系的。这小小的环节我的意图是帮助孩子把几分之一根据这原有的认识背景当中与整数1之间建立联系，这样新知不会是一个找不到家的孤独的旅客，它应该与已有的知识间建立一种唯一的联系。第三，极限数学思考，这也是数学思考很重要的一个方面，我问了一个很简单的问题“还能继续往下分吗？”再往下的话还可能出现几分之一，不言自明，1/12、1/24、1/48，孩子的回答非常自然。我提出一个问题，“平均分份数的越多表示每一份的分数将怎么样？”孩子们一下就感受出来了，因为有前面直观的知识，在动手操作中的一种感悟，完了以后在加上自己的空间想象，他们就感受出来了，平均的分的份数越多表示每份的分数就越来越少。在比如后面巧克力的练习，这里可以给老师们交代几个问题，当时为了选择生活中的画面联想分数，我找了好多好多的题材。一开始找的是一些很吸引孩子眼球的题材，但是事实上后来我的认识也发生了变化，我觉得好的题材不仅仅是让孩子在课堂上激动起来、振奋起来，而这种激动和振奋知识外在的。好的题材应该让孩子在内心深处感到一种激动。一下巧克力出来，孩子们觉得1/2很好，联想一下每人分得1/2能分给几个人？8个人。然后我一个问题接过来，这不是我想问的问题，我想问是同样的巧克力换一种思考你还能联想到几分之一？孩子们很聪明稍作思考以后，1/4，1/2都蹦出来了。这里面有什么好处，第一层意思同一块巧克力从不同的角度去观察思考获的结论是不一样的，数学里讲究的是求异思维，这是一种渗透。第二、这里面渗透了数学中的一种反比例思想，不知道你们当时有没有听出来。同样一块巧克力每人分得1/8可以分给8个人，每人分的1/4，有个学生说了一句话“只能分给4个人”，然后说每人分的1/2，学生说“哦。只能分给2个人了。”老师们肯定会想这里面不就是种反比例思想吗？同样一块巧克力每份分的越少分得人越多，每份分的越多分得人就越少，这是反比例思想的一种有机的渗透。当然这里面还是和1里面有2个1/2，4个1/4，8个1/8有联系，这些对于后期的学习都是有很大帮助的。但是我觉得刚才这些都不是最重要的，最重要是巧克力这道题它无形无言中的为孩子后来学习单位1作了很好的铺垫。老师们，我问你：“这是一块巧克力吗？”这是一块巧克力。我再问你：“这是8块巧克力吗？”它也是8块巧克力。对不对，后面单位1的学习不是一个整体吗？你瞧，这是多好的整体。它可以说是一块，也可以说是由8块小巧克力组成的一个整体。这为后面孩子们认识8个苹果，我们可以把它看作一个整体作了一个极好铺垫。再说说广告这道题，这道题非常有意思，很多老师也觉得非常有趣。这道题不是因为有1/4，而是后面孩子提出来的1/9和1/8的比例。老师们都听到了这一幕，我就不一一详说了。这里面比较有思考价值的是这个的1/2到底是谁的1/2，这涉及到单位1的转移问题。因为整堂课的单位1都在围绕一个东西在进行，而在这个问题里面单位1由整块蛋糕漂移到了一小块蛋糕。这里还涉及到1/8的1/2，还有1/9，到底是不是1/9，如果不是1/9又该是几分之几，孩子们提出来是1/16，可以看出孩子们的认识是非常深入的。最后讲一个花絮，我在安徽上课的时候，上完以后有好几个老师跑过来和我开玩笑，因为记得前面是一个深圳的老师上观察物体，他是怎么上的？每个学生都准备了一个照相机（数码相机）当时他们觉得深圳人太有钱了，为了这堂课给每个孩子准备了一个相机。当我们江苏人上完以后，他们就说江苏人更了不得为了上这堂课花几十万拍了一个广告。其实这个广告在很多地方多有，四川也有。这就告诉我们，作为一个老师要上好一堂课，一定要作生活中的有心人。这个广告我也在无意中发现的，当时我就想以后我上分数的时候我就可以用上，没想这次我就派上用场了。

 ；  ；下面的老师问：“这堂课超过了40分钟，该把哪些环节处理以下，让它保持在40分钟以内。”

 ；  ；答：因为自己没戴表，手机又没开，因此这是我上这堂课上的最长的一次，上了将近50分钟。现在，我应该反思的是为什么这堂课我上长了，首先这对我是件好事。当然，先撇开伤害了学生的休息时间和在座老师的休息时间。当时我在杭州上课的时候，上完以后很多评委给我提意见说之所以把你这堂课定在第二名而不是定在第一名是因为你这堂课上的太顺了。说实话这“顺”有几方面的原因，我上公开课是临时接触学生的，老师们都清楚这里面每个人都会在课前就本课前期的一些，比如这堂课分数而言肯定会在课前作大量的铺垫，不一定讲分数，不一定讲几分之一。但今天这堂课在课前我没有作任铺垫。走过来才知道是这么40个学生。这是第一次接触，也就是说课前接触比较少，那么自然会导致孩子们在认识上不会那么的流畅，这是第一。第二，我觉得我更敢于把很多问题暴露出来，说实话在唐山那次上课，课堂上孩子出现问题我第一想到的是该如何巧妙的把他引导回到我的思路上来，绝对不能让他受抬举。但今天是一个交流的机会而不是展示，我完全可以让孩子出现的所有问题暴露出来，然后我该怎么去引导就怎么去引导，该怎么去面对的就怎么去面对，该怎么去正视的就怎么去正视。由于我这种心态的转变导致后来很多深层次环节的出现，然后我在去慢慢的解决，由于我又没戴表，所以就导致了超时。如果要说要删哪些环节的话，那就是上到哪就是哪，不会去加其他一些不必要的东西。因为这堂课后面是点缀，我觉得该做的前面我都已经做了。